Manipulasi formula proposi logis

Dalam kehidupan sehari-hari, terkadang dihadapkan dengan formula-formula proposional yang mana membutuhkan manipulasi/penyederhanaan. Pada sub bab ini akan dibahas bagaimana suatu formula dapat di tuliskan kembali dalam bentuk yang lain, sementara menghasilkan tabel kebenaran yang sama (memiliki nilai logika yang sama/ ekivalen dengan formula proporsi asal)!.

Pengenal-pengenal standar

Misalkan p, q dan r merupakan variabel-variable suatu formula, maka pengenal/indentitas berikut membolehkan untuk menuliskan kembali formula tertentu sebagai formula yang sama. Beberapa dari identitas standar tsb sudah dibahas di awal, akan tetapi pada kesempatan ini akan ditulis lagi agar tersaji list identitas/pengenal standar yang lengkap.
1.   p v p  =T   p
2. p ^ p  =T  p
3. (p v q) v r  =T   p v (q v r) | sifat asosiatif disjungsi -- > kurungnya digeser-geser tidak akan pengaruh, mana yang dikerjakan lebih dulu, hasilnya sama
4. (p ^ q) ^ r  =T   p ^ (q ^ r) | sifat asosiatif konjungsi -- > kurungnya digeser-geser tidak akan mempengaruhi hasil, mana dikerjakan lebih dulu, hasil sama
5. p v q   =T    q v p | sifat komutatif disjungsi -- > dibolak-balik hasilnya sama
6. p ^ q   =T    q ^ p            | sifat komutatif konjungsi -- > dibolak-balik hasilnya sama
7. p v (q ^ r)   =T    (p v q) ^ (p v r) | sifat distributif
8. p ^ (q v r)   =T    (p ^ q) v (p ^ r) | sifat distributif
9. p v T   =T    T
10. p v F  =T  p
11. p ^ T  =T  p
12. p ^ F  =T  F
13. p v ¬p  =T  T
14. p ^ ¬p  =T  F
15. ¬ (p v q)  =T   ¬ p ^ ¬q | hukum Demorgan
16. ¬ (p ^ q)  =T   ¬ p v ¬q | hukum Demorgan
17. p → q   =T    ¬ p v q
18. p → q   =T    ¬q → ¬ p 
19. p ↔ q   =T   (p → q) ^ (q → p)  
20. ¬¬p   =T   p

Contoh, Tanpa tabel kebenaran tunjukkan bahwa
¬p ^ ((r^s) v (r^¬s)) ^ (p v q)   =T   ¬ p ^ q ^ r  

Solusi;
¬p ^ ((r^s) v (r^¬s)) ^ (p v q)  =T   ¬p ^ q ^ r  
¬p ^ r ^ (s v¬s) ^ (p v s)  ^ (p v q)  =T  ¬ p ^ q ^ r  
¬p ^ r ^ (T)  ^ (p v q)   =T   ¬p ^ q ^ r  
r ^ T ^  ¬p ^ (p v q)   =T  ¬ p ^ q ^ r  
r ^ T ^  (¬p ^ p) v (¬p ^ q)   =T  ¬ p ^ q ^ r  
r ^ T ^  ((F) v (¬p ^ q))  =T   ¬p ^ q ^ r  
r ^ ¬p ^ q   =T   ¬p ^ q ^ r  
¬p ^ q ^ r   =T   ¬p ^ q ^ r  


Contoh, Tanpa tabel kebenaran tunjukkan bahwa
p ^  (p v q)  =T   p 

Solusi;
p ^ (p v q)  =T   p 
(p v F) ^ (p v q)  =T   p 
p v (F ^ q)  =T   p 
p v F  =T   p 
p  =T   p